3592. Inverse Coin Change

題目

給定一個長度為 $n-1$ 的整數陣列 numWays，其中 numWays[i] 表示構造出總金額為 $i + 1$ 的硬幣組合數（組合中不考慮硬幣順序）。

請推算出構造出此 numWays 陣列的硬幣面額列表 coins。如果無法找到一組硬幣使其構造出的組合數與 numWays 完全吻合，則回傳空陣列 []。

解題思路

本題屬於逆向推導（Inverse Problem）結合完全背包動態規劃（Unbounded Knapsack DP）的經典題目。

題目給定每個金額 $1, 2, \dots, n-1$ 的合法組合數 numWays[i]，我們需要由小到大逐一判斷每個金額 $s = i + 1$ 是否為一枚全新的硬幣面額。

數學與規律觀察

假設我們維護一個動態規劃陣列 dp，其中 dp[s] 代表僅使用目前已經確定的硬幣集合，湊出金額 $s$ 的組合數。

當我們從小到大遍歷到金額 $s = i + 1$ 時：

僅用較小硬幣：所有只包含面額 $< s$ 的硬幣組合，其湊出金額 $s$ 的方法數已經被完全計算在 dp[s] （即 dp[i+1]）中。
包含面額 $s$ 的硬幣：如果硬幣集合中包含面額 $s$ 的硬幣，由於硬幣面額皆為正整數，使用一枚面額 $s$ 的硬幣後，剩餘金額為 $s - s = 0$。湊出金額 0 的方法數固定為 $\text{dp}[0] = 1$（即什麼都不選）。
不可能使用 $> s$ 的硬幣：因為硬幣面額大於金額 $s$，無法用來湊出金額 $s$。

因此，對於金額 $s = i + 1$：

湊出金額 $s$ 的總方法數只可能為： $\text{numWays}[i] = \text{dp}[i+1] \quad (\text{無面額 } s \text{ 的硬幣})$ 或 $\text{numWays}[i] = \text{dp}[i+1] + 1 \quad (\text{存在面額 } s \text{ 的硬幣})$

貪心與 DP 狀態更新

觀察 numWays[i] - dp[i+1] 的值：

numWays[i] - dp[i+1] == 0：說明單靠目前已知的較小硬幣就已經剛好湊出 numWays[i] 種方法。因此不需要面額為 $s = i + 1$ 的硬幣，直接檢查下一個金額（i += 1）。
numWays[i] - dp[i+1] == 1：說明目前已知的硬幣組合數比目標少 1 種，這代表必須存在一枚面額為 $s = i + 1$ 的硬幣。我們將 $s$ 加入 coins 列表中，並透過完全背包 DP 更新 dp 陣列： $\text{dp}[j] = \text{dp}[j] + \text{dp}[j - s] \quad (\forall j \in [s, n-1])$ 更新完後，保持當前 i 繼續檢查（若有多枚相同面額硬幣可連續處理，直至 numWays[i] - dp[i+1] == 0 時才增長 i）。
numWays[i] - dp[i+1] != 0 且 numWays[i] - dp[i+1] != 1：說明目前已知硬幣組合數與目標不符合，且無法透過新增硬幣來修正，因此無解，直接回傳 []。

Python 實作

class Solution:
    def findCoins(self, numWays: List[int]) -> List[int]:
        coins = []
        n = len(numWays) + 1
        dp = [0 for i in range(n)]
        dp[0] = 1
        
        i = 0
        while i < len(numWays):
            if numWays[i] - dp[i+1] == 0:
                i += 1
                continue
            if numWays[i] - dp[i+1] != 1:
                return []

            coin = i + 1
            coins.append(coin)

            for j in range(coin, n):
                dp[j] = dp[j] + dp[j-coin]

        return coins

複雜度分析

時間複雜度：$O(n \times m)$ 其中 $n = \text{len(numWays)} + 1$，$m$ 為最終找到的硬幣數量 len(coins)。每次確定一枚硬幣面額時，更新 DP 陣列需要 $O(n)$ 的時間，最多更新 $m$ 次。
空間複雜度：$O(n)$ 維護長度為 $n$ 的一維 dp 陣列以及記錄結果的 coins 列表。