題目

1143. Longest Common Subsequence 給定兩個字串 text1 和 text2，返回它們的最長共同子序列的長度。如果沒有共同的子序列，返回 0。

解題思路 - DP

這題的目的是找出兩個字串的最長共同子序列。我們可以使用動態規劃來解決這個問題。

具體步驟如下：

1. 建立一個二維的 DP 陣列，其中 dp[i][j] 表示 text1 的前 i 個字符和 text2 的前 j 個字符的最長共同子序列的長度。
2. 初始化邊界條件，即當 i 或 j 為 0 時，dp[i][j] 應該為 0，因為一個字串和空字串的最長共同子序列長度為 0。
3. 遍歷 text1 和 text2，如果 text1[i-1] 等於 text2[j-1]，則 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，否則 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
4. 最後，dp[m][n] 即為最長共同子序列的長度，其中 m 和 n 分別是 text1 和 text2 的長度。

範例

假設有兩個字串：

• text1 = "abcde"
• text2 = "ace"

1. 建立一個 2D DP 陣列，初始化為 0

2. 逐步填充 DP 陣列

• 當 text1[i-1] 等於 text2[j-1]，代表當前字符是共同字符，dp[i-1][j-1] 是不包括這個共同字符之前的 LCS 長度，因此dp[i][j] 是 dp[i-1][j-1] 加 1*
  • e.g. "ac"與"abcd"的LCS是2，如果兩個字串都加上'e'， "ace"與"abcde"的LCS 是 "ac"與"abcd"的LCS加1
• 否則，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
  • 這表示當 text1[i-1] 不等於 text2[j-1] 時，LCS 的長度不會增加。
  • 我們需要在兩個選擇中取最大的 LCS 長度：dp[i-1][j] 或 dp[i][j-1]。
    • dp[i-1][j] 是忽略 text1[i-1]，只考慮 text1 的前 $i-1$ 個字符和 text2 的前 $j$ 個字符的 LCS。
    • dp[i][j-1] 是忽略 text2[j-1]，只考慮 text1 的前 $i$ 個字符和 text2 的前 $j-1$ 個字符的 LCS。

3. 輸出結果

最後 DP 陣列中的右下角 dp[5][3] 就是 “abcde” 和 “ace” 的最長共同子序列的長度，即 3。

Python 代碼實現

def longestCommonSubsequence(text1, text2):
    m, n = len(text1), len(text2)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

    return dp[m][n]

複雜度分析

• 時間複雜度：O(m * n)，其中 m 和 n 分別是 text1 和 text2 的長度。我們需要遍歷 DP 陣列中的每一個元素。
• 空間複雜度：O(m * n)，我們使用了一個二維陣列來存儲中間結果。

解題思路 - rolling DP

避免重複計算。使用 rolling DP（滾動動態規劃）的方法可以節省空間。

具體步驟

1. 建立 DP 陣列：我們只需要兩個一維陣列 previous 和 current 來儲存每一步的計算結果。previous 保存上一行的 DP 值，current 保存當前行的 DP 值。

2. 初始化：初始化 previous 和 current 陣列為 0，長度為 text1 的長度加 1。

3. 遍歷字符：遍歷 text2 的每個字符，對每個字符再遍歷 text1 的每個字符進行比較。如果字符相同，則 current[i] = previous[i-1] + 1；否則，current[i] = max(previous[i], current[i-1])。

4. 更新陣列：每次內層循環結束後，將 current 複製到 previous，以便進行下一輪比較。

5. 結果：最終，previous 陣列的最後一個元素就是最長共同子序列的長度。

Python 代碼實現

def longestCommonSubsequence(text1, text2):
    m, n = len(text1), len(text2)
    previous = [0] * (m + 1)
    current = [0] * (m + 1)

    for j in range(1, n + 1):
        for i in range(1, m + 1):
            if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                current[i] = previous[i - 1] + 1
            else:
                current[i] = max(previous[i], current[i - 1])
        previous = current[:]

    return previous[m]

複雜度分析

• 時間複雜度：O(m * n)，其中 m 和 n 分別是 text1 和 text2 的長度。我們需要遍歷 DP 陣列中的每一個元素。
• 空間複雜度：O(m)，使用了兩個長度為 m + 1 的一維陣列來存儲中間結果。